题目内容
【题目】如图，在
中，
，
为
的平分线，点
在
上，
经过点
，
两点，与
，分别交于点
，
．
（1）求证：
与相切；
（2）若
，
，求的半径
和的长．
【答案】（1）见解析；（2）
，
．
【解析】
（1）连接OD，根据等边对等角可得∠OAD=∠ODA，然后根据角平分线的定义可得∠CAD=∠OAD，从而证出∠CAD=∠ODA，根据平行线的判定定理可得OD∥AC，从而证出OD⊥BC，然后根据切线的判定定理即可证出结论；
（2）连接DF，根据勾股定理求出AD，然后根据相似三角形的判定定理证出△CAD∽△DAF，列出比例式即可求出AF，从而求出圆的半径，然后利用平行证出△BOD∽△BAC，然后列出比例式即可求出BC．
（1）证明：连接OD
∵OA=OD
∴∠OAD=∠ODA
∵
为
的平分线，
∴∠CAD=∠OAD
∴∠CAD=∠ODA
∴OD∥AC
∴∠ODB=∠ACB=90°
∴OD⊥BC
∴
与
相切；
（2）连接DF
在Rt△ACD中，AD=
=
∵AF为直径
∴∠ADF=90°
∴∠ACD=∠ADF
∵∠CAD=∠DAF
∴△CAD∽△DAF
∴
即
解得：AF=
∴的半径
=
=
，
∵OD∥AC
∴△BOD∽△BAC
∴
即
解得：BC=8
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