Question

【题目】小明研究了这样一道几何题：如图1，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，请问边上的中线与的数量关系是什么？以下是他的研究过程：

特例验证：（1）①如图2，当为等边三角形时，猜想与的数量关系为_______；②如图3，当，时，则长为________．

猜想论证：（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．

拓展应用：（3）如图4，在四边形，，，，，，在四边形内部是否存在点，使与之间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点的位置（保留作图痕迹，不需要说明）并直接写出的边上的中线的长度；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①；②4，（2）；理由见解析，（3）存在；

【解析】

（1）①首先证明是含有的直角三角形，可得，即可解决问题；②首先证明，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题．

（2）与的数量关系为，如图5，延长到，使，连接、，先证四边形是平行四边形，再证明，即可解决问题．

（3）存在，如图6，延长交的延长线于，作于，做直线的垂直平分线交于，交于，连接、、，作的中线，连接交于，先证明，，再证明，即可得出结论，再在中，根据勾股定理，即可求出的长．

（1）①如图2，∵是等边三角形，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，

∴，

又∵是边上的中线，∴，

∴，即，

∵，，

∴，

∴，

∴在中，，，

∴．

故答案为：．

②如图3，∵，，

∴，即和为直角三角形，

∵把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，

∴，，

∴在和中，

∴，

∴，

∵是边上的中线，为直角三角形，

∴，

又∵，

∴．

故答案为：．

（2），

如图5，延长到，使，连接、，

图5

∵，，

∴四边形是平行四边形，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴在和中，

∴，

∴，

∴．

（3）存在，

如图6，延长交的延长线于，作于，作直线的垂直平分线交于，交于，连接、、，作的中线，连接交于，

图6

∵，

∴，

∵，

∴，

在中，

∵，，，

∴，，，

在中，

∵，，，

∴，

∴，

∵，∴，

∵，∴，，

在中，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴四边形是矩形，

∴，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴与之间满足小明探究的问题中的边角关系，

在中，∵，，，

∴．