Question

8．如图，E是∠AOB的角平分线上的一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D，试说明
（1）为什么∠ECO=∠EDO？
（2）为什么OC=OD？
（3）为什么OE是CD的垂直平分线？

Answer 1

分析 （1）根据垂直的定义证明即可；
（2）根据角平分线的性质得到ED=EC，证明Rt△ODE≌Rt△OCE即可；
（3）根据到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上证明结论．

解答 证明：（1）∵EC⊥OA，∴∠ECO=90°，
∵ED⊥OB，∴∠EDO=90°，
∴∠ECO=∠EDO；
（2）∵E是∠AOB的角平分线上的一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴ED=EC，
在Rt△ODE和Rt△OCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{ED=EC}\\{OE=OE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OC=OD；
（3）∵ED=EC，OC=OD，
∴OE是CD的垂直平分线．

点评 本题考查的是角平分线的性质和线段垂直平分线的判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．