Question

【题目】在△ABC中，∠ABC＝120°，线段AC绕点C顺时针旋转60°得到线段CD，连接BD．

（1）如图1，若AB＝BC，求证：BD平分∠ABC；

（2）如图2，若AB＝2BC，

①求的值；

②连接AD，当S△ABC＝时，直接写出四边形ABCD的面积为　 　．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）① ；② ．

【解析】

（1）连接AD，证△ACD是等边三角形，再证△ABD≌△CBD，推出∠CBD＝∠ABD，即得出结论；

（2）①连接AD，作等边三角形ACD的外接圆⊙O，证点B在⊙O上，在BD上截取BM，使BM＝BC，证△CBA≌△CMD，设BC＝BM＝1，则AB＝MD＝2，BD＝3，过点C作CN⊥BD于N，可求出BN＝BC＝，CN＝BC＝，ND＝BD﹣BN＝，CD＝，即可求出＝＝；

②分别过点B，D作AC的垂线，垂足分别为H，Q，设CB＝1，AB＝2，CH＝x，则由①知，AC＝，AH＝﹣x，在Rt△BCH与Rt△BAH中利用勾股定理求出BH的值，再求出DQ的值，求出＝，因为AC为△ABC与△ACD的公共底，所以＝，可求出△ACD的面积，进一步求出四边形ABCD的面积．

（1）证明：如图1，连接AD，

由题意知，∠ACD＝60°，CA＝CD，

∴△ACD是等边三角形，

∴CD＝AD，

又∵AB＝CB，BD＝BD，

∴△ABD≌△CBD（SSS），

∴∠CBD＝∠ABD，

∴BD平分∠ABC；

（2）解：①如图2，连接AD，作等边三角形ACD的外接圆⊙O，

∵∠ADC＝60°，∠ABC＝120°，

∴∠ADC+∠ABC＝180°，

∴点B在⊙O上，

∵AD＝CD，

∴，

∴∠CBD＝∠CAD＝60°，

在BD上截取BM，使BM＝BC，

则△BCM为等边三角形，

∴∠CMB＝60°，

∴∠CMD＝120°＝∠CBA，

又∵CB＝CM，∠BAC＝∠BDC，

∴△CBA≌△CMD（AAS），

∴MD＝AB，

设BC＝BM＝1，则AB＝MD＝2，

∴BD＝3，

过点C作CN⊥BD于N，

在Rt△BCN中，∠CBN＝60°，

∴∠BCN＝30°，

∴BN＝BC＝，CN＝BC＝，

∴ND＝BD﹣BN＝，

在Rt△CND中，

CD＝＝＝，

∴AC＝，

∴＝；

②如图3，分别过点B，D作AC的垂线，垂足分别为H，Q，

设CB＝1，AB＝2，CH＝x，

则由①知，AC＝，AH＝-x，

在Rt△BCH与Rt△BAH中，

BC2﹣CH2＝AB2﹣AH2，

即1﹣x2＝22-（-x）2，

解得，x＝，

∴BH＝＝，

在Rt△ADQ中，DQ＝ AD＝×＝，

∴＝＝，

∵AC为△ABC与△ACD的公共底，

∴＝＝，

∵S△ABC＝，

∴S△ACD＝，

∴S四边形ABCD＝＝，

故答案为：．