Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，于H，，过A点的直线与OC的延长线交于点D，，.

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若E为⊙O上一动点，连接AE交直线OD于点P，问：是否存在点P,使得PA+PH的值最小，若存在求PA+PH的最小值，若不存在，说明理由.

 

 

Answer 1

（1）证明见解析；（2）存在，.

【解析】

试题分析：（1）连接AO，求证即可．

（2）求出OH的长，作A关于OD的对称点F,连接FH交OD于点P，根据对称性及两点之间线段最短可知此点P使PA+PH的值最小.

（1）如图，连接AO.

∵，∴ .

∵AO=CO，∴.∴.

∴AD是⊙O的切线 .

（2）存在.

∵,OA=OC，∴AOC为等边三角形.

在RtAOD中，∵,，∴.

∵，∴ .

如图，作A关于OD的对称点F,连接FH交OD于点P，根据对称性及两点之间线段最短可知此点P使PA+PH的值最小.

∴.∴.

∵,OF=10,∴ ,即PA+PH的最小值为.

考点：1.等边三角形的判定和性质；2.切线的判定；3.轴对称的应用（最短线路问题）；4.锐角三角函数定义；5.特殊角的三角函数值.