Question

对于半径为r的⊙P及一个正方形给出如下定义：若⊙P上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称⊙P是该正方形的“等距圆”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧.

（1）当r=时，

①在P1（0，-3），P2（4，6），P3（，2）中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是_______________；

②若点P在直线上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，则点P的坐标为_______________；

（2）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（6，2），顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方.

①若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P 在y轴上截得的弦长；

②将正方形ABCD绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，则r的取值范围是_______________．

 

Answer 1

（1）①P2，P3；②P（-4，6）或P（4，-2）；（2）①；②．

【解析】

试题分析：（1）①②直接根据定义作答.

（2）①根据定义和直线与圆的位置关系求解即可； ②根据定义列不等式求解即可.

试题解析：（1）①P2，P3；

②P（-4，6）或P（4，-2）.

（2）①∵⊙P同时为正方形ABCD与正方形EFGH的“等距圆”，

∴⊙P同时过正方形ABCD的对称中心E和正方形EFGH的对称中心I.

∴点P在线段EI的中垂线上.

∵A（2，4），正方形ABCD的边CD在x轴上；F（6，2），正方形EFGH的边HE在y轴上，

∴E（0，2），I（3，5）.∴∠I EH=45°，

设线段EI的中垂线与y轴交于点L，与x轴交于点M，

∴△LIE为等腰直角三角形，LI⊥y轴，∴L（0，5），

∴△LOM为等腰直角三角形，LO=OM.∴M（5，0）.

∴P在直线y=-x+5上.

∴设P（p，-p+5）.

过P作PQ⊥直线BC于Q，连结PE，

∵⊙P与BC所在直线相切，∴PE=PQ.

∴，

解得：，.

∴．

∵⊙P过点E，且E点在y轴上，

∴⊙P在y轴上截得的弦长为.

②．

考点：1.新定义和阅读理解型问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.直线与圆相切的性质；4.勾股定理.