题目内容
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB．（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为______；
（2）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值．
（3）连接AD，当OC∥AD时，
①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由．
【答案】分析：（1）根据点A和点B坐标易得△OAB为等腰直角三角形，则∠OBA=45°，由于OC∥AB，所以当C点在y轴左侧时，有∠BOC=∠OBA=45°；当C点在y轴右侧时，有∠BOC=180°-∠OBA=135°；
（2）由△OAB为等腰直角三角形得AB=
OA=6
，根据三角形面积公式得到当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长然后利用等腰直角三角形的性质计算出OE，然后计算△ABC的面积；
（3）①过C点作CF⊥x轴于F，易证Rt△OCF∽Rt△AOD，则
=
，即
=
，解得CF=
，再利用勾股定理计算出OF=
，则可得到C点坐标；
②由于OC=3，OF=
，所以∠COF=30°，则可得到BOC=60°，∠AOD=60°，然后根据“SAS”判断△BOC≌△AOD，所以∠BCO=∠ADC=90°，再根据切线的判定定理可确定直线BC为⊙O的切线．
解答：解：（1）∵点A（6，0），点B（0，6）
，
∴OA=OB=6，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OBA=45°，
∵OC∥AB，
∴当C点在y轴左侧时，∠BOC=∠OBA=45°；
当C点在y轴右侧时，∠BOC=180°-∠OBA=135°；
（2）∵△OAB为等腰直角三角形，
∴AB=
OA=6
，
∴当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，
过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，如图，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，
∵△OAB为等腰直角三角形，
∴AB=
OA=6
，
∴OE=
AB=3
，
∴CE=OC+CE=3+3
，
△ABC的面积=
CE•AB=
×（3+3
）×6
=9
+18．
∴当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，
△ABC的面积最大，最大值为9
+18．
（3）①如图，过C点作CF⊥x轴于F，
∵OC∥AD，
∴∠ADO=∠COD=90°，
∴∠DOA+∠DAO=90°
而∠DOA+∠COF=90°，
∴∠COF=∠DAO，
∴Rt△OCF∽Rt△AOD，
∴
=
，即
=
，解得CF=
，
在Rt△OCF中，OF=
=
，
∴C点坐标为（-
，
）；
延长CO交⊙O于点C′，则OC′∥AD，
∵C′与C关于原点O对称，
∴C′点坐标为（
，-
）；
故所求点C的坐标为（-
，
）或（
，-
）；
②当C点坐标为（-
，
）时，直线BC是⊙O的切线．理由如下：
在Rt△OCF中，OC=3，CF=
，
∴∠COF=30°，
∴∠OAD=30°，
∴∠BOC=60°，∠AOD=60°，
∵在△BOC和△AOD中
，
∴△BOC≌△AOD（SAS），
∴∠BCO=∠ADC=90°，
∴OC⊥BC，
∴直线BC为⊙O的切线；
当C点坐标为（
，-
）时，显然直线BC与⊙O相交，不是⊙O的切线．
点评：本题考查了圆的综合题：掌握切线的判定定理、平行线的性质和等腰直角三角形的判定与性质；熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算．
（2）由△OAB为等腰直角三角形得AB=
OA=6，根据三角形面积公式得到当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长然后利用等腰直角三角形的性质计算出OE，然后计算△ABC的面积；（3）①过C点作CF⊥x轴于F，易证Rt△OCF∽Rt△AOD，则
=，即=，解得CF=，再利用勾股定理计算出OF=，则可得到C点坐标；②由于OC=3，OF=
，所以∠COF=30°，则可得到BOC=60°，∠AOD=60°，然后根据“SAS”判断△BOC≌△AOD，所以∠BCO=∠ADC=90°，再根据切线的判定定理可确定直线BC为⊙O的切线．解答：解：（1）∵点A（6，0），点B（0，6）
，∴OA=OB=6，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OBA=45°，
∵OC∥AB，
∴当C点在y轴左侧时，∠BOC=∠OBA=45°；
当C点在y轴右侧时，∠BOC=180°-∠OBA=135°；
（2）∵△OAB为等腰直角三角形，
∴AB=
OA=6，∴当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，
过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，如图，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，
∵△OAB为等腰直角三角形，
∴AB=
OA=6，∴OE=
AB=3，∴CE=OC+CE=3+3
，△ABC的面积=
CE•AB=×（3+3）×6=9+18．∴当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，
△ABC的面积最大，最大值为9
+18．（3）①如图，过C点作CF⊥x轴于F，
∵OC∥AD，
∴∠ADO=∠COD=90°，
∴∠DOA+∠DAO=90°
而∠DOA+∠COF=90°，
∴∠COF=∠DAO，
∴Rt△OCF∽Rt△AOD，
∴
=，即=，解得CF=，在Rt△OCF中，OF=
=，∴C点坐标为（-
，）；延长CO交⊙O于点C′，则OC′∥AD，
∵C′与C关于原点O对称，
∴C′点坐标为（
，-）；故所求点C的坐标为（-
，）或（，-）；②当C点坐标为（-
，）时，直线BC是⊙O的切线．理由如下：在Rt△OCF中，OC=3，CF=
，∴∠COF=30°，
∴∠OAD=30°，
∴∠BOC=60°，∠AOD=60°，
∵在△BOC和△AOD中
，∴△BOC≌△AOD（SAS），
∴∠BCO=∠ADC=90°，
∴OC⊥BC，
∴直线BC为⊙O的切线；
当C点坐标为（
，-）时，显然直线BC与⊙O相交，不是⊙O的切线．点评：本题考查了圆的综合题：掌握切线的判定定理、平行线的性质和等腰直角三角形的判定与性质；熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算．
练习册系列答案
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