Question

12．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D，E分别在AC，BC上（点D与点A，C不重合），且∠DEC=∠A，将△DCE绕点D逆时针旋转90°得到△DC′E′．当△DC′E′的斜边、直角边与AB分别相交于点P，Q（点P与点Q不重合）时，设CD=x，PQ=y．
（1）求证：∠ADP=∠DEC；
（2）求y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据等角的余角相等即可证明；
（2）分两种情形①如图1中，当C′E′与AB相交于Q时，即$\frac{6}{5}$＜x≤$\frac{12}{7}$时，过P作MN∥DC′，设∠B=α．②当DC′交AB于Q时，即$\frac{12}{7}$＜x＜3时，如图2中，作PM⊥AC于M，PN⊥DQ于N，则四边形PMDN是矩形，分别求解即可；

解答 （1）证明：如图1中，

∵∠EDE′=∠C=90°，
∴∠ADP+∠CDE=90°，∠CDE+∠DEC=90°，
∴∠ADP=∠DEC．

（2）解：如图1中，当C′E′与AB相交于Q时，即$\frac{6}{5}$＜x≤$\frac{12}{7}$时，过P作MN∥DC′，设∠B=α
∴MN⊥AC，四边形DC′MN是矩形，
∴PM=PQ•cosα=$\frac{4}{5}$y，PN=$\frac{4}{3}$×$\frac{1}{2}$（3-x），
∴$\frac{2}{3}$（3-x）+$\frac{4}{5}$y=x，
∴y=$\frac{25}{12}$x-$\frac{5}{2}$，
当DC′交AB于Q时，即$\frac{12}{7}$＜x＜3时，如图2中，作PM⊥AC于M，PN⊥DQ于N，则四边形PMDN是矩形，

∴PN=DM，
∵DM=$\frac{1}{2}$（3-x），PN=PQ•sinα=$\frac{3}{5}$y，
∴$\frac{1}{2}$（3-x）=$\frac{3}{5}$y，
∴y=-$\frac{5}{6}$x+$\frac{5}{2}$．
综上所述，y=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{5}{6}x+\frac{5}{2}}&{（\frac{12}{7}＜x＜3）}\\{\frac{25}{12}x-\frac{5}{2}}&{（\frac{6}{5}＜x≤\frac{12}{7}）}\end{array}\right.$

点评 本题考查旋转变换、直角三角形的性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．