Question

如图，直线y=x与双曲线y=

k

x

（x＞0）相交于点A，点P在双曲线上，过P做PB∥y轴，交直线y=x于点B，点Q在x轴的正半轴上．
（1）如果点A是线段OB中点，∠PAQ=45°
①求证：△OAQ∽△BPA；
②连接PQ，如果点A到线段PQ的距离为2，求k的值．
（2）如果点P在双曲线上移动（不与A重合），且保持△OAQ∽△BPA，那么∠PAQ是45°吗？若是，请说明理由；若不是，能确定其大小吗？

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）①先根据直线y=x求得∠AOQ=∠ABP=45°，然后根据三角形的外角的直线和三角形内角和定理求得∠AQO=∠PAB即可求得三角形相似．②根据点A到线段PQ的距离为2和勾股定理求得OQ=PB=2

2

，然后根据①求得的相似三角形求得OA的长，进而求得A点坐标，然后代入反比例函数的表达式即可求得；
（3）先根据直线y=x求得∠AOQ=∠ABP=45°，然后根据三角形相似求得∠OQA=∠BAP，最后依据三角形外角的性质和三角形内角和定理即可求得；

解答：（1）①证明：由直线y=x可知∠AOQ=∠1=45°，
∵PB∥y轴，
∴∠ABP=∠1=45°，
∵∠AOQ+∠AQO+∠OAQ=180°，∠OAQ+∠PAQ+∠PAB=180°，∠AOQ=∠PAQ=45°，
∴∠AQO=∠PAB，
∵∠AOQ=∠ABP=45°，
∴△OAQ∽△BPA；

②解：分别过Q、P点作直线y=x的垂线，交直线与M、N．
∵点A到线段PQ的距离为2，
∴QM=PN=2，
∵∠AOQ=∠ABP=45°，∠OMQ=∠PNB=90°，
∴OQ=PB=2

2

，
设OA=AB=x，
∵△OAQ∽△BPA，
∴

OA

PB

=

OQ

AB

，即

x

2 2

=

2 2

x

，
解得x=2

2

，
∵PA=2

2

，
∴A（2，2），
代入y=

k

x

得2=

k

2

，解得k=4，

（2）能确定；
理由：∵∠AOQ=∠ABP=45°，△OAQ∽△BPA，
∴∠OQA=∠BAP，
∵∠AOQ+∠AQO+∠OAQ=180°，∠OAQ+∠PAQ+∠PAB=180°，∠AOQ=45°，
∴∠PAQ=∠AOQ=45°．

点评：本题考查了一次函数，反比例函数的性质，相似三角形的判定及性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理等．