Question

如图，已知在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，D是边BC的中点，E是射线BA上一动点，直线DE交射线CA于F点．
（1）当DF=DC时，求AF的值；
（2）当点E位于线段AB上时（与B、A不重合），设BE=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当△AEF为以FA腰的等腰三角形时，求x的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质

专题：常规题型

分析：（1）易证△ABC∽△DFC，根据

AC

DC

=

BC

CF

即可解题；
（2）易证△AFE∽△MDE，根据

AF

DM

=

AE

ME

可求出y关于x的函数解析式；
（3）分别求E位于线段AB上和BA的延长线上时x的值，即可解题．

解答：解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DF=DC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠F，
∴△ABC∽△DFC，
∴

AC

DC

=

BC

CF

，
∴

10

8

=

16

CF

，
∴CF=12.8，
∴AF=2.8； 
（2）取AB的中点M，联结DM．

∵D是边BC的中点，
∴DM∥AC，DM=

1

2

AC=5，
∴△AFE∽△MDE，
∴

AF

DM

=

AE

ME

，
∴

y

5

=

10-x

x-5

，
∴y=

5(10-x)

x-5

，
函数定义域为5＜x＜10；
（3）当点E位于线段AB上时，

①若AF=AE 即

5(10-x)

x-5

=10-x，
解得x=10 舍去，
②若AF=EFcos∠FAE=

7

25

，
5×

7

25

=

1

2

•（x-5）
x=

39

5

，
当点E位于线段BA延长线上时，此时y=

5(x-10)

x-5

，

①若AF=AE  即

5(x-10)

x-5

=x-10，
解得x=10舍去，
②若AF=EFcos∠FAE=

7

25

，

7

25

y=

1

2

（x-10）
解得x=

39

5

舍去．
综上所述，当△AEF为以FA腰的等腰三角形时，x=

39

5

．

点评：本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比值相等的性质．