Question

16．（1）观察与归纳：在如图1所示的平面直角坐标系中，直线l与y轴平行，点A与点B是直线l上的两点（点A在点B的上方）．
①小明发现：若点A坐标为（2，3），点B坐标为（2，-4），则AB的长度为7； 
②小明经过多次取l上的两点后，他归纳出这样的结论：若点A坐标为（t，m），点B坐标为（t，n），当m＞n时，AB的长度可表示为m-n；
（2）如图2，正比例函数y=x与一次函数y=-x+6交于点A，点B是y=-x+6图象与x轴的交点，点C在第四象限，且OC=5．点P是线段OB上的一个动点（点P不与点0、B重合），过点P与y轴平行的直线l交线段AB于点Q，交射线OC于R，设点P横坐标为t，线段QR的长度为m．已知当t=4时，直线l恰好经过点C．
①求点A的坐标；
②求OC所在直线的关系式；
③求m关于t的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）直线AB与y轴平行，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A、B两点横坐标相等，再根据AB的长度为|y₁-y₂|即可求得，
（2）①联立方程，解方程得出A点的坐标；
②根据勾股定理求得C点坐标，然后根据待定系数法即可求得OC所在直线的关系式；
③根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，求得PR，进而求出即可．

解答 解：（1）①若点A坐标为（2，3），点B坐标为（2，-4），则AB的长度为3-（-4）=7；
②若点A坐标为（t，m），点B坐标为（t，n），当m＞n时，AB的长度可表示为m-n；
故答案为7；m-n；
（2）①解$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-x+6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴A（3，3）；
②∵直线l平行于y轴且当t=4时，直线l恰好过点C，如图2，作CE⊥OB于E，
∴OE=4，
在Rt△OCE中，OC=5，
由勾股定理得：
CE=$\sqrt{O{C}^{2}-O{E}^{2}}$=3，
∴点C的坐标为：（4，-3）；
设OC所在直线的关系式为y=kx，则-3=4k，
∴k=-$\frac{3}{4}$，
∴OC所在直线的关系式为y=-$\frac{3}{4}$x；
③由直线y=-x+6可知B（6，0），
作AD⊥OB于D，
∵A（3，3），
∴OD=BD=AD=3，
∴∠AOB=45°，OA=AB，
∴∠OAB=90°，∠ABO=45°
如图3，
∵∠BPQ=90°，∠ABO=45°，
∴∠BQP=∠PBQ=45°，
∴BP=QP，
∵点P的横坐标为t，
∴PB=QP=6-t，
∵PR∥CE，
∴$\frac{OE}{OP}$=$\frac{EC}{PR}$，
∴$\frac{4}{t}$=$\frac{3}{PR}$，
解得：PR=$\frac{3}{4}$t，
∴QR=QP+PR=6-t+$\frac{3}{4}$t=6-$\frac{1}{4}$t，
∴m关于t的函数关系式为：m=6-$\frac{1}{4}$t（3≤t＜6）．

点评 此题主要考查了一次函数综合以及相似三角形的判定与性质和勾股定理等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．