题目内容
如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ=（ ）
A．60°
B．65°
C．72°
D．75°
【答案】分析：作辅助线连接OD，根据题意求出∠POQ和∠AOD的，利用平行关系求出∠AOP度数，即可求出∠AOQ的度数．
解答：
解：连接OD，AR，
∵△PQR是⊙O的内接正三角形，
∴∠PRQ=60°，
∴∠POQ=2×∠PRQ=120°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴△AOD为等腰直角三角形，
∴∠AOD=90°，
∵BC∥RQ，AD∥BC，
∴AD∥QR，
∴∠ARQ=∠DAR，
∴弧AQ=弧DR，
∵△PQR是等边三角形，
∴PQ=PR，
∴弧PQ=弧PR，
∴弧AP=弧PD，
∴∠AOP=
∠AOD=45°，
所以∠AOQ=∠POQ-∠AOP=120°-45°=75°．
故选D．
点评：解决本题的关键是作出辅助线，利用中心角求解．
解答：
解：连接OD，AR，∵△PQR是⊙O的内接正三角形，
∴∠PRQ=60°，
∴∠POQ=2×∠PRQ=120°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴△AOD为等腰直角三角形，
∴∠AOD=90°，
∵BC∥RQ，AD∥BC，
∴AD∥QR，
∴∠ARQ=∠DAR，
∴弧AQ=弧DR，
∵△PQR是等边三角形，
∴PQ=PR，
∴弧PQ=弧PR，
∴弧AP=弧PD，
∴∠AOP=
∠AOD=45°，所以∠AOQ=∠POQ-∠AOP=120°-45°=75°．
故选D．
点评：解决本题的关键是作出辅助线，利用中心角求解．
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