Question

如图：△PQR是等边三角形，∠APB=120°
（1）求证：QR²=AQ•RB；
（2）若AP=2

7

，AQ=2，PB=

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．求RQ的长和△PRB的面积．

Answer 1

分析：（1）利用等边三角形性质，进一步证得△AQP∽△PRB，再由三角形相似的性质解答即可．
（2）利用证得的△PAQ∽△BPR，就可得：PA：BP=AQ：PR，则可算出PR、BR的长，在等边△PQR中，PR=RQ，可求出它的高，也就是△PRB的高，由此面积也可求．

解答：（1）证明：∵△PQR是等边三角形，
∴QR=PQ=PR，∠PQR=∠PRQ=∠QPR=60°，
∴∠AQP=∠PRB=120°，
∴∠A+∠APQ=60°，
又∵∠APB=120°，
∴∠A+∠B=60°，
∴∠APQ=∠B，
∴△AQP∽△PRB，
∴

PQ

BR

=

AQ

PR

，QR=PQ=PR，
∴QR²=AQ•RB．

（2）解：∵△PAQ∽△BPR
∴PA：BP=AQ：PR
即2

7

：

14

=2：PR
∴PR=

2

，
在等边△PQR中，PQ=RQ=PR=

2

底边RQ的高为

( 2 )2 -( 2 2 )2

=

6

2

∴PQ：BR=AQ：PR，即

2

：BR=2：

2

，BR=1，
∵△PRB的高为等边△PQR的高
∴△PRB的面积为

1

2

×1×

6

2

=

6

4

．

点评：此题主要考查等边三角形的性质，三角形相似的判定与性质以及等量代换的渗透，解题的关键是相似三角形的判定与性质的应用．