Question

如图：△ABO中，OA=OB，以O为圆心的圆经过AB中点C，且分别交OA、OB于点E、F．
（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）若△ABO腰上的高为2

3

，且∠A=30°，求

ECF

的长．

Answer 1

分析：（1）连接OC，由C为AB的中点，OA=OB，即可推出OC⊥AB，然后根据C点在⊙O上即可推出AB是⊙O的切线；
（2）延长AO，作BH⊥AO，即BH=2

3

，由∠A=30°，即可推出AB=4

3

，再由中点的性质推出AC=2

3

，可得OC=2，∠AOC=60°，即∠AOB=120°，最后根据弧长公式即可推出结果．

解答：解：（1）连接OC，
∵C为AB的中点，OA=OB，
∴OC⊥AB，AC=BC，∠AOB=2∠AOC，
∵C点在⊙O上，
∴AB是⊙O的切线，

（2）延长AO，做BH⊥AO，
∵BH=2

3

，由∠A=30°，
∴AB=4

3

，
∴AC=2

3

，
∵OC⊥AB，
∴OC=2，∠AOC=60°，
∴∠AOB=120°，
∵弧长公式为：n°πR÷180°，
∴

ECF

=

120°×π×2

180°

=

4π

3

．

点评：本题主要等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、弧长公式、切线的判定与性质，关键在于正确作出辅助线，构建直角三角形，熟练运用相关的定义和公式，认真地进行计算．