Question

在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD=AE．
（1）写出CG与EG的数量关系，并说明理由．
（2）若AD=12，AB=20，求CE的长．

Answer 1

考点：勾股定理,等腰三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线,三角形中位线定理

专题：

分析：（1）利用直角三角形的性质以及等腰三角形的性质得出即可；
（2）首先得出EF

∥

.

1

2

AD，进而得出ED，AD的长，再利用勾股定理得出EC的长．

解答：解：（1）CG=EG，
理由：连接EG，∵AD⊥BC
∴∠ADB=90°
∵CE是AB边上的中线
∴E是AB的中点
∴DE=

1

2

AB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
又∵AE=

1

2

AB
∴AE=DE
∵AE=CD
∴DE=CD
即△DCE是等腰三角形，
∵DG⊥EC，
∴CG=EG；

（2）过点E作EF⊥BC于点F，
∵AD⊥BC，E为AB的中点，
∴EF

∥

.

1

2

AD，
∴EF=6，
∵∠ADB=90°，AD=12，AB=20，
∴BD=16，
∴FD=BF=8，
∴ED=

62+82

=10，
∴DC=10，
∴EC=

EF2+FC2

=

62+(8+10)2

=6

10

．

点评：此题主要考查了勾股定理以及三角形中位线的性质和等腰三角形的性质等知识，得出ED的长是解题关键．