已知:如图.在平行四边形ABCD中.AB=12.BC=6.AD⊥BD．以AD为斜边在平行四边形ABCD的内部作Rt△AED.∠EAD=30°.∠AED=90°．(1)求△AED的周长,(2)若△AED以每秒2个单位长度的速度沿DC向右平行移动.得到△A0E0D0.当A0D0与BC重合时停止移动.设运动时间为t秒.△A0E0D0与△BDC重叠的面积为S.请直接� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD．以AD为斜

边在平行四边形ABCD的内部作Rt△AED，∠EAD=30°，∠AED=90°．
（1）求△AED的周长；
（2）若△AED以每秒2个单位长度的速度沿DC向右平行移动，得到△A₀E₀D₀，当A₀D₀与BC重合时停止移动，设运动时间为t秒，△A₀E₀D₀与△BDC重叠的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．

考点：几何变换综合题

专题：

分析：（1）在Rt△ADE中，解直角三角形即可；
（2）在△AED向右平移的过程中：
（I）当0≤t≤1.5时，如答图1所示，此时重叠部分为一个三角形；
（II）当1.5＜t≤4.5时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形；
（III）当4.5＜t≤6时，如答图3所示，此时重叠部分为一个五边形．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6．
在Rt△ADE中，AD=6，∠EAD=30°，
∴AE=AD•cos30°=3

3

，DE=AD•sin30°=3，
∴△AED的周长为：6+3

3

+3=9+3

3

．

（2）在△AED向右平移的过程中：
（I）当0≤t≤1.5时，如答图1所示，此时重叠部分为△D₀NK．

∵DD₀=2t，∴ND₀=DD₀•sin30°=t，NK=ND₀÷tan30°=

3

t，
∴S=S_△D0NK=

1

2

ND₀•NK=

1

2

t•

3

t=

3

2

t²；
（II）当1.5＜t≤4.5时，如答图2所示，此时重叠部分为四边形D₀E₀KN．

∵AA₀=2t，∴A₀B=AB-AA₀=12-2t，
∴A₀N=

1

2

A₀B=6-t，NK=A₀N•tan30°=

3

3

（6-t）．
∴S=S_{四边形D0E0KN}=S_△A0D0E0-S_△A0NK=

1

2

×3×3

3

-

1

2

×（6-t）×

3

3

（6-t）=-

3

6

t²+2

3

t-

3

3

2

；
（III）当4.5＜t≤6时，如答图3所示，此时重叠部分为五边形D₀IJKN．

∵AA₀=2t，∴A₀B=AB-AA₀=12-2t=D₀C，
∴A₀N=

1

2

A₀B=6-t，D₀N=6-（6-t）=t，BN=A₀B•cos30°=

3

（6-t）；
易知CI=BJ=A₀B=D₀C=12-2t，∴BI=BC-CI=2t-6，
S=S_梯形BND0I-S_△BKJ=

1

2

[t+（2t-6）]•

3

（6-t）-

1

2

•（12-2t）•

3

3

（12-2t）=-

13

3

6

t²+20

3

t-42

3

．
综上所述，S与t之间的函数关系式为：
S=

3

2

t2(0≤t≤1.5)

-

3

6

t2+2

3

t-

3

3

2

(1.5＜t≤4.5)

-

13

3

6

t2+20

3

t-42

3

(4.5＜t≤6)

．

点评：本题考查了运动型与几何变换综合题，难度较大．难点在于：其一，第（2）问的运动型问题中，分析三角形的运动过程，明确不同时段的重叠图形形状，是解题难点；其二，本题第（2）问中，计算量很大，容易失分．

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