Question

△ABC中，CA=CB，点O在高CH上，OD⊥CA于点D，OE⊥CB于点E，以O为圆心，OD为半径作⊙O．
（1）如图1，求证：CB是⊙O的切线；
（2）如图2，若⊙O过点H，且AC=5，AB=6，连接EH，求⊙O的直径．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由CA=CB，且CH垂直于AB，利用三线合一得到CH为角平分线，再由OD垂直于AC，OE垂直于CB，利用角平分线定理得到OE=OD，利用切线的判定方法即可得证；
（2）根据CA=CB，CH是高，得到AH=BH=

1

2

AB=3，从而利用勾股定理得到CH=

CA2-AH2

=4，连接OE，然后证得△COE∽△CBH，利用相似三角形的对应边的比相等得到

OE

BH

=

OC

BC

，从而求得OE，然后根据直径2OE计算即可．

解答：（1）证明：∵CA=CB，点O在高CH上，
∴∠ACH=∠BCH，
∵OD⊥CA，OE⊥CB，
∴OE=OD，
∴圆O与CB相切于点E；

（2）解：∵CA=CB，CH是高，
∴AH=BH=

1

2

AB=3，
∴CH=

CA2-AH2

=4，
如图2，连接OE，
∵∠OCE=∠BCH，∠CEO=∠CHB=90°，
∴△COE∽△CBH，
∴

OE

BH

=

OC

BC

，
即

OE

3

=

4-OE

5

，
解得OE=

3

2

，
所以，直径=2OE=2×

3

2

=3．

点评：此题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．