Question

15．【新知理解】
如图①，若点A、B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．
作法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，则点P即为所求．
【解决问题】
如图②，AD是边长为6cm的等边三角形ABC的中线，点P、E分别在AD、AC上，则PC+PE的最小值为3$\sqrt{3}$cm；
【拓展研究】
如图③，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．（保留作图痕迹，并对作图方法进行说明）

Answer 1

分析 （1）作点E关于AD的对称点F，连接PF，则PE=PF，根据两点之间线段最短以及垂线段最短，得出当CF⊥AB时，PC+PE=PC+PF=CF（最短），最后根据勾股定理，求得CF的长即可得出PC+PE的最小值；
（2）根据轴对称的性质进行作图．方法1：作B关于AC的对称点E，连接DE并延长，交AC于P，连接BP，则∠APB=∠APD．方法2：作点D关于AC的对称点D'，连接D'B并延长与AC的交于点P，连接DP，则∠APB=∠APD．

解答 解：（1）【解决问题】
如图②，作点E关于AD的对称点F，连接PF，则PE=PF，

当点F，P，C在一条直线上时，PC+PE=PC+PF=CF（最短），
当CF⊥AB时，CF最短，此时BF=$\frac{1}{2}$AB=3（cm），
∴Rt△BCF中，CF=$\sqrt{B{C}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$（cm），
∴PC+PE的最小值为3$\sqrt{3}$cm，
故答案为：3$\sqrt{3}$；

（2）【拓展研究】
方法1：如图③，作B关于AC的对称点E，连接DE并延长，交AC于P，点P即为所求，连接BP，则∠APB=∠APD．

方法2：如图④，作点D关于AC的对称点D'，连接D'B并延长与AC的交于点P，点P即为所求，连接DP，则∠APB=∠APD．

点评 本题属于轴对称-最短路线问题，本题考查了勾股定理、轴对称的性质，利用轴对称作图与基本作图等知识点的综合应用，熟知两点之间，线段最短以及垂线段最短是解答此题的关键．