Question

8．如图，正方形ABCD，△DCE是等边三角形，AC、BD交于点O，AE交BD于点F．
（1）求∠AED的度数；
（2）若OF=1，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）先根据正方形和等边三角形的性质证明△ADE是等腰三角形，即可求出∠DAE=∠DEA．
（2）求出∠OAF=30°，在RT△OAF中利用30度角性质，即可解决问题．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，DC=DE，∠CDE=∠DEC=60°，∠DAC=45°，AC⊥BD，
∴AD=DE，∠ADE=90°+60°=150°，∠AOD=90°，
∴∠DAE=∠DEA=$\frac{1}{2}$（180°-150°）=15°，
∴∠AED=15°．
（2）由（1）可知∠OAF=45°-15°=30°，
∴AF=2OF，
∵OF=1，
∴AF=2，AO=$\sqrt{A{F}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AO=OB=$\sqrt{3}$，
在RT△AOB中，∵∠AOB=90°，∴AB=$\sqrt{A{O}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了正方形的性质和等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质以及等腰三角形的判定方法；根据正方形和等边三角形的性质弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．