Question

16．如图，已知△ABC，D是BC上的点，连接AD
（1）若AD为角平分线，求证：S_△ABD：S_△ACD=AB：AC；
（2）若S_△ABD：S_△ACD=AB：AC，求证：AD平分∠BAC．

Answer 1

分析 （1）过D作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，根据角平分线性质得出DM=DN，根据三角形面积公式求出即可；
（2）利用面积的关系证明DE=DF，问题即可解决．

解答 解：（1）如图，过D作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴DM=DN，
∴S_△ABD：S_△ACD=（$\frac{1}{2}$AB×DN）：（$\frac{1}{2}$AC×DM）=AB：AC；

（2）如图，过D作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，
∵$\frac{{S}_{△ACD}}{{S}_{△ABD}}$=$\frac{\frac{1}{2}AC•DM}{\frac{1}{2}AB•DN}$，而S_△ABD：S_△ACD=AB：AC，
∴$\frac{\frac{1}{2}AC•DM}{\frac{1}{2}AB•DN}$=$\frac{AC}{AB}$，
∴$\frac{DM}{DN}$=1，即DM=DN，
∴AD是△ABC的角平分线．

点评 该题主要考查了角平分线的性质及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．