Question

半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P。已知BC ：CA＝4 : 3，点P在上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点O。

（1）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；

（2）当点P运动到的中点时，求CQ的长；

（3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长。

Answer 1

解：（1）当点P与点C关于AB对称时，CP⊥AB，设垂足为D。

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB =90°

∴AB =5，AC:CA = 4:3，

∴BC =4， AC =3

又∵AC?BC =AB?CD

∴  

在Rt△ACB和Rt△PCQ中，

∠ACB ＝∠PCQ=90°， ∠CAB ＝∠CPQ，

Rt△ACB ∽ Rt△PCQ

∴

 （2）当点P运动到弧AB的中点时，过点B作BE⊥PC于点E（如图）.

∵P是弧AB的中点，

∴

又∠CPB=∠CAB

∴∠CPB= tan∠CAB=

∴而从

 由（1）得，

（3）点P在弧AB上运动时，恒有

故PC最大时，CQ取到最大值。

当PC过圆心O，即PC取最大值5时，CQ 最大值为