Question

【题目】如图，△ABC中，AB=AC=，BC=8.

(1)动手操作：

利用尺规作以AC为直径的圆O，并标圆O与AB的交点D，与BC的交点E，连接DE、CE（保留作图痕迹，不写作法）

(2)综合应用：

在你所作的图中，①求证：DE=CE;②求DC的长

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）DC=.

【解析】

（1）先作AC的垂直平分线得到AC的中点O，再以O为圆心，OA为半径作圆交AB于D，交BC于E；

（2）①连结AE，先利用圆周角定理得到∠AEC＝90°，再根据等腰三角形的性质得到AE平分∠BAC，即∠DAE＝∠CAE，则根据圆周角定理得，于是根据圆心角、弧、弦的关系得到结论；

②作DF⊥BC于F，连结CD，如图，先根据勾股定理计算出AE＝8，再利用面积法即可求出CD＝.

（1）如图，

⊙O为所作；

（2）①连结AE，如图，

∵AC为直径，

∴∠AEC＝90°，

∵AB＝AC，

∴BE＝CE＝4，

∴AE平分∠BAC，即∠DAE＝∠CAE，

∴，

∴DE＝CE；

②解：作DF⊥BC于F，连结CD，如图，

在Rt△ABE中，AE＝＝＝8，

∵CDAB＝AEBC，

∴CD＝＝，

即CD的长为．