Question

4．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=∠C=90°，点E在DC上，且AE，BE分别平分∠BAD和∠ABC．
（1）求证：点E为CD中点；
（2）当AD=2，BC=3时，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）过点E作EF⊥AB于F，利用已知条件可证明△ADE≌△AFE，由全等三角形的性质可得DE=FE，同理可证明EF=EC，所以DE=EF=CE，即点E为CD中点；
（2）由（1）可知AF=AD，BC=BF，所以AB=AF+BF=AD+BC=5，问题得解．

解答 （1）证明：过点E作EF⊥AB于F，
∴∠AFE=90°，
∴∠D=∠AFE=90°
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠FAE，
在△ADE和△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠AFE=90°}\\{∠DAE=∠FAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△AFE（AAS），
∴DE=FE，
同理可得：EF=EC，
∴DE=EF=CE，
即点E为CD中点；
（2）∵△ADE≌△AFE，
∴AF=AD=2，BC=BF=3，
∴AB=AF+BF=AD+BC=5．

点评 本题考查了直角梯形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是作出高线，构造全等三角形．