Question

17．如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，以AE为边作正方形AEFG．
（1）连接GD，若BE=1，试求DG的长；
（2）连接FC，求证：∠FCN=45°；
（3）请问在AB边上是否存在一点Q，使得四边形DQEF是平行四边形？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据同角的余角相等得∠DAG=∠BAE，再根据“SAS”证得△ADG≌△ABE，即可得出DG的长；
（2）过F作BN的垂线，设垂足为H，首先证△ABE、△EHF全等，然后得AB=EH，BE=FH；然后根据AB=BC=EH，即BE+EC=EC+CH，得到CH=BE=FH，即可得证．
（3）在AB上取AQ=BE，连接QD，首先证△DAQ、△ABE、△ADG三个三角形全等，易证得AG、QD平行且相等，又由于AG、EF平行且相等，所以QD、EF平行且相等，即可得证．

解答 （1）解：如图1，连接DG
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴DA=BA，EA=GA，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠DAG=∠BAE，
在△ADG和△ABE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAG=∠BAE}\\{AG=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△ABE（SAS），
∴BE=DG=1；

（2）证明：如图2，过F作BN的垂线，设垂足为H，
∵∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠HEF，
在△ABE和△EHF中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠EBA=∠EHF}\\{∠BAE=∠HEF}\\{AE=EF}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△EHF（AAS），
∴AB=EH，BE=FH，
∴AB=BC=EH，
∴BE+EC=EC+CH，
∴CH=BE=FH，
∴∠FCN=45°；

（3）解：如图3，在AB上取AQ=BE，连接QD，
在△DAQ和△ABE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAQ=∠ABE}\\{AQ=BE}\end{array}\right.$，
∴△DAQ≌△ABE（SAS），
∵△ABE≌△EHF，
∴△DAQ≌△ABE≌△ADG，
∴∠GAD=∠ADQ，
∴AG、QD平行且相等，
又∵AG、EF平行且相等，∴QD、EF平行且相等，
∴四边形DQEF是平行四边形．
∴在AB边上存在一点Q，使得四边形DQEF是平行四边形．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形的性质、平行四边形的判定等知识，熟练应用全等三角形的判定与性质是解题关键．