Question

10．如图，在平行四边形ABCD中，P是AD上的一点，且BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD．
（1）求∠BPC的度数；
（2）如果AB=5cm，BP=8cm，求三角形BPC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的同旁内角互补，再结合角平分线的定义，可以得到∠PAB+∠PBA=90°，再根据三角形的内角和定理就可证明；
（2）根据角平分线的定义以及两条直线平行，则内错角相等．从而证明△ABP和△CDP是等腰三角形．则AD=CB=PD+AP=10，根据勾股定理得到PC=6，再根据直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半．

解答 （1）证明：∵BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCB=$\frac{1}{2}∠$DCB，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥BD，
∴∠ABC+∠DCB=180°
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠DCB）=90°，
∴∠BPC=180°-90°=90°；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=5，AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC，
又∵BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，
∴∠PAB=∠PAD=∠DPA，
∴AP=AB=5，
同理PD=CD=5，
∴AD=BC=AP+PD=10，
∴在Rt△BPC中，由勾股定理得：PC=$\sqrt{B{C}^{2}-B{P}^{2}}$=6．
∴S_△BPC=$\frac{1}{2}$BP•PC=24．

点评 本题考查了平行四边形性质，平行线性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用．