Question

6．某校九年级进行集体跳绳比赛．如图所示，跳绳时，绳甩到最高处时的形状可看作是某抛物线的一部分，记作G，绳子两端的距离AB约为8米，两名甩绳同学拿绳的手到地面的距离AC和BD基本保持1米，当绳甩过最低点时刚好擦过地面，且与抛物线G关于直线AB对称．
（1）求抛物线G的表达式并写出自变量的取值范围；
（2）如果身高为1.5米的小华站在CD之间，且距点C的水平距离为m米，绳子甩过最高处时超过她的头顶，直接写出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）首先确定A、B和顶点E的坐标，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）求得当y=1.5时，对应的x的值，则m的范围即可求得．

解答 解：（1）如图所示建立平面直角坐标系．

由题意可知A（-4，0），B（4，0），顶点E（0，1）．
设抛物线G的表达式为y=ax²+1．
∵A（-4，0）在抛物线G上，
∴16a+1=0，解得$a=-\frac{1}{16}$．
∴$y=-\frac{1}{16}{x^2}+1$．
自变量的取值范围为-4≤x≤4．

（2）当y=1.5-1=0.5时，-$\frac{1}{16}$x²+1=0.5，
解得：x=±4$\sqrt{2}$，
∴m的取值范围是：4-4$\sqrt{2}$＜m＜4+4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及二次函数的实际应用，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．