Question

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+n与x轴、y轴分别交于点A，B，与双曲线y=$\frac{4}{x}$在第一象限内交于点C（1，m），过x轴正半轴上的点D（a，0）作平行于y轴的直线l，分别与直线AB和双曲线y=$\frac{4}{x}$交于P，Q．
（1）求m和n的值；
（2）当a＞1，PQ=2QD时，求△APQ的面积；
（3）当CP=CQ时，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由直线y=2x+n与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线y=$\frac{4}{x}$在第一象限内交于点C（1，m）．把C（1，m）代入y=$\frac{4}{x}$，得m=4，把C（1，4）代入y=2x+n中得n=2；
（2）在y=2x+2中，令y=0，则x=-1，求得A（-1，0），求出P（a，2a+2），Q（a，$\frac{4}{a}$），根据PQ=2QD，列方程2a+2-$\frac{4}{a}$=2×$\frac{4}{a}$，解得a=2，a=-3，即可得到结果；
（（3）根据D（a，0），l∥y轴，得到P（a，2a+2），Q（a，$\frac{4}{a}$），过C作CH⊥PQ于H，由于C（1，4），得到H（a，4），根据等腰三角形的性质得到PH=HQ，列方程即可得到结论．

解答 解：（1）∵直线y=2x+n与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线y=$\frac{4}{x}$在第一象限内交于点C（1，m）．
∴把C（1，m）代入y=$\frac{4}{x}$，得m=4，
∴C（1，4），
把C（1，4）代入y=2x+n中得n=2，
∴m和n的值分别为：4，2；

（2）在y=2x+2中，令y=0，则x=-1，
∴A（-1，0），
∵D（a，0），l∥y轴，
∴P（a，2a+2），Q（a，$\frac{4}{a}$），
∵PQ=2QD，
∴2a+2-$\frac{4}{a}$=2×$\frac{4}{a}$，
解得：a=2，a=-3，
∵点P，Q在第一象限，
∴a=2，
∴PQ=4，
又∵AD=3
∴S_△APQ=$\frac{1}{2}$×4×3=6；
（3）∵D（a，0），l∥y轴，
∴P（a，2a+2），Q（a，$\frac{4}{a}$），
过C作CH⊥PQ于H，
∵C（1，4），
∴H（a，4），
∵PC=CQ，
∴PH=HQ，
∴2a+2-4=4-$\frac{4}{a}$，
解得：a=2，a=1（不合题意，舍去），
∴a=2．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．