Question

18．如图，正方形ABCD，点E在AD上，将△CDE绕点C顺时针旋转90°至△CFG，点F，G分别为点D，E旋转后的对应点，连接EG，DB，DF，DB与CE交于点M，DF与CG交于点N．
（1）求证BM=DN；
（2）直接写出图中已经存在的所有等腰直角三角形．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得∠DCB=90°，CD=CB，再根据旋转的性质得CF=CD，∠ECG=∠DCF=90°，则可判断△CDF为等腰直角三角形，所以∠CDF=∠CFD=45°，然后证明△BCM≌△DCN，则BM=DN；
（2）根据正方形的性质可判断△ABD和△BCD为等腰直角三角形，根据旋转的性质可判断△CDF和△ECG为等腰直角三角形，然后判断△BDF为腰直角三角形．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DCB=90°，CD=CB，
∵△CDE绕点C顺时针旋转90°至△CFG，
∴CF=CD，∠ECG=∠DCF=90°，
∴△CDF为等腰直角三角形，
∴∠CDF=∠CFD=45°，
∵∠BCM+∠DCE=90°，∠DCN+∠DCE=90°，
∴∠BCM=∠DCN，
∵∠CBM=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，
∴∠CBM=∠CDN，
在△BCM和△DCN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠MBC=∠NDC}\\{CB=CD}\\{∠BCM=∠CDN}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△DCN，
∴BM=DN；
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴△ABD和△BCD为等腰直角三角形；
由（1）得△CDF为等腰三角形；
∵△CDE绕点C顺时针旋转90°至△CFG，
∴CE=CG，∠ECG=90°，
∴△ECG为等腰直角三角形；
∵△CBD和△CFD为等腰直角三角形；
∴△BDF为等腰直角三角形．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的判定方法和正方形的性质．