Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD．

（1）求证：四边形AEBD是矩形；

（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

(1)由AE∥BD，且AE＝BD可得四边形AEBD是平行四边形,再根据AB＝AC，D为BC中点,可知AD⊥BC即可得出四边形AEBD是矩形.

(2)根据30°所对的直角边是斜边的一半即可求出EB,再根据矩形的性质求出BC即可利用勾股定理求出EC,由题意可证△AEF∽△BCF,再根据对应边成比例即可求出结果.

（1）证明：∵AE∥BD，AE＝BD，

∴四边形AEBD是平行四边形，

∵AB＝AC，D为BC的中点，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB＝90°，

∴四边形AEBD是矩形．

（2）解：∵四边形AEBD是矩形，

∴∠AEB＝90°，

∵∠ABE＝30°，AE＝2，

∴BE＝2，BC＝4，

∴EC＝2，

∵AE∥BC，

∴△AEF∽△BCF，

∴，

∴EFEC=．