题目内容
如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正△ABC的边长为1，它的一边AC在MN上，且顶点A与M重合．现将正△ABC在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．（1）请在所给的图中，画出顶点A在正△ABC整个翻滚过程中所经过的路线图；
（2）求正△ABC在整个翻滚过程中顶点A所经过的路径长；
（3）求正△ABC在整个翻滚过程中顶点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S．
【答案】分析：（1）根据将正△ABC在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动，转动过程中始终是以半径为1的弧，据此画出圆弧即可．
（2）根据翻滚路线结合弧长公式求出即可；
（3）根据总结的翻转角度和翻转半径，求出圆弧与梯形的边长围成的扇形的面积即可．
解答：
解：（1）如图所示：
（2）点A所经过的路线长：
×4+
=
π；
（3）如图所示：
根据正三角形边长为1，则高AD为：cos30°=
，则AD=
，
故面积为：
×1×
，
围成的图形的面积：3个圆心角为120°的扇形+2个正三角形的面积+一个半圆面积，
（根据要求正△ABC在整个翻滚过程中顶点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S，则最后一段弧没有和PQ围成闭合的图形，故可以不求这部分面积）
所以点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S为：
×π×12+2×
1×
+3×
=
π+
．
点评：本题考查了扇形的面积的计算、等腰梯形的性质、弧长的计算，是一道不错的综合题，解题的关键是正确地得到点A的翻转角度和半径．
（2）根据翻滚路线结合弧长公式求出即可；
（3）根据总结的翻转角度和翻转半径，求出圆弧与梯形的边长围成的扇形的面积即可．
解答：
解：（1）如图所示：（2）点A所经过的路线长：
×4+=π；（3）如图所示：
根据正三角形边长为1，则高AD为：cos30°=
，则AD=，故面积为：
×1×，围成的图形的面积：3个圆心角为120°的扇形+2个正三角形的面积+一个半圆面积，
（根据要求正△ABC在整个翻滚过程中顶点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S，则最后一段弧没有和PQ围成闭合的图形，故可以不求这部分面积）
所以点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S为：
×π×12+2×1×+3×=π+．点评：本题考查了扇形的面积的计算、等腰梯形的性质、弧长的计算，是一道不错的综合题，解题的关键是正确地得到点A的翻转角度和半径．
练习册系列答案
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如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S是
翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．