Question

如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．
（1）请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；
（2）求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S．

Answer 1

分析：（1）根据点A绕点D翻滚，然后绕点C翻滚，然后绕点B翻滚，半径分别为1、

2

、1，翻转角分别为90°、90°、150°，据此画出圆弧即可．
（2）根据总结的翻转角度和翻转半径，求出圆弧与梯形的边长围成的扇形的面积即可．

解答：解：（1）作图如图；


（2）∵点A绕点D翻滚，然后绕点C翻滚，然后绕点B翻滚，半径分别为1、

2

、1，翻转角分别为90°、90°、150°，
∴S=2×

90×1×π

360

+2×

90π×( 2 )2

360

+2×

150π×1

360

+4×

1

2

×1²
=

π

2

+π+

5

6

π+2
=

7

3

π+2．

点评：本题考查了扇形的面积的计算、等腰梯形的性质、弧长的计算，是一道不错的综合题，解题的关键是正确地得到点A的翻转角度和半径．