Question

15．直线y=-$\frac{3}{4}$x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式并写出自变量t相应的取值范围；
（3）当S=$\frac{48}{5}$时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．
（4）△ABO与△OPQ在运动过程中能否相似，若存在，求出对应的时间t的值或取值范围．

Answer 1

分析 （1）分别令y=0，x=0，即可求出A、B的坐标；
（2）因为OA=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，进而可求出点Q由O到A的时间是8秒，点P的速度是2，从而可求出，
当P在线段OB上运动（或0≤t≤3）时，OQ=t，OP=2t，S=t²，当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PD⊥OA于点D，由相似三角形的性质，得PD=$\frac{48-6t}{5}$，利用S=$\frac{1}{2}$OQ×PD，即可求出答案；
（3）令S=$\frac{48}{5}$，求出t的值，进而求出OD、PD，即可求出P的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M的坐标；
（4）当点P在OB上时，由已知条件得到$\frac{OP}{OQ}≠\frac{OA}{OB}$，得到△OAB与△OPQ不相似；当点P在AB上时，①当∠PQO=90°时，即PQ⊥OA，②当∠OPQ=90°时，即PO⊥PQ，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）y=0，x=0，求得A（8，0），B（0，6），

（2）∵OA=8，OB=6，
∴AB=10．
∵点Q由O到A的时间是$\frac{8}{1}$=8（秒），
∴点P的速度是$\frac{6+10}{8}$=2（单位长度/秒）．
当P在线段OB上运动（或0＜t≤3）时，
OQ=t，OP=2t，S=t²．
当P在线段BA上运动（或3＜t＜8）时，
OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，
如图，过点P作PD⊥OA于点D，
由$\frac{PD}{BO}$=$\frac{AP}{AB}$，得PD=$\frac{48-6t}{5}$．
∴S=$\frac{1}{2}$OQ•PD=-$\frac{3}{5}$t²+$\frac{24}{5}$t．

（3）当S=$\frac{48}{5}$时，∵$\frac{48}{5}$$＞\frac{1}{2}$×3×6，∴点P在AB上，
当S=$\frac{48}{5}$时，-$\frac{3}{5}$t²+$\frac{24}{5}$t=$\frac{48}{5}$，
∴t=4，
∴PD=$\frac{48-6×4}{5}$=$\frac{24}{5}$，AP=16-2×4=8
AD=$\sqrt{{8}^{2}-（\frac{24}{5}）^{2}}$=$\frac{32}{5}$，
∴OD=8-$\frac{32}{5}$=$\frac{8}{5}$
∴P（$\frac{8}{5}$，$\frac{24}{5}$），
M₁（$\frac{28}{5}$，$\frac{24}{5}$），M₂（-$\frac{12}{5}$，$\frac{24}{5}$），M₃（$\frac{12}{5}$，-$\frac{24}{5}$）；

（4）当点P在OB上时，
∵$\frac{OP}{OQ}$=2，$\frac{OA}{OB}=\frac{4}{3}$，
∴$\frac{OP}{OQ}≠\frac{OA}{OB}$，
∴△OAB与△OPQ不相似；
当点P在AB上时，
①当∠PQO=90°时，即PQ⊥OA，
∴△APQ∽△ABO，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AO}$，即$\frac{16-2t}{10}=\frac{8-t}{8}$，
解得：t=8（不合题意），
②当∠OPQ=90°时，即PO⊥PQ，
∴△OPQ∽△AOB，
∴∠POQ=∠BAO，
∴OP=AP=16-2t，
∴$\frac{OP}{OA}=\frac{OQ}{AB}$，即$\frac{16-2t}{8}=\frac{t}{10}$，
∴t=$\frac{40}{7}$，
∴△ABO与△OPQ在运动过程中相似t=$\frac{40}{7}$．

点评 本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例以及一次函数的综合应用，要注意的是（2）中，要根据P点的不同位置进行分类求解．