Question

8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，CD⊥AB于点D，动点P从点A出发，沿AC以1cm/s的速度向终点C运动，点P不与点A，C重合，过点P作PQ⊥AC交折线AD-DC于点Q，以PQ为边向PQ右边作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ACD重叠部分图形的面积为S，点P运动的时间为t（s）
（1）当M点在边CD上时，求t的值；
（2）用含t的代数式表示PQ的长；
（3）求S与t的函数解析式．

Answer 1

分析 （1）如图1中，当当M点在边CD上时，由QM∥AC，得$\frac{QM}{AC}$=$\frac{QD}{AD}$，列出方程即可解决问题．
（2）分两种情形①当0＜t≤1时，根据PA=PQ，即可解决问题．②当1＜t＜2时，△PQC是等腰直角三角形，由此即可解决问题．
（3）分三种情形讨论即可）①如图2中，当0＜t＜$\frac{2}{3}$时，重叠部分就是正方形PQMN，求出正方形PQMN的面积即可，②如图3中，设CD与MN交于点G，MQ交CD于H，
当$\frac{2}{3}$＜t≤1时，重叠部分是五边形QHGNP，求出五边形面积即可．③如图4中，当1＜t＜2时，重叠部分是△PCQ，求出△PCQ面积即可．

解答 解：（1）如图1中，当当M点在边CD上时，

∵∠ACB=90°，AC=BC=2，CD⊥AB，
∴AB=2$\sqrt{2}$，CD=AD=DB=$\sqrt{2}$，
∴∠A=∠DQM=45°，
∴PA=PQ=MQ=t，AQ=$\sqrt{2}$t，
∵QM∥AC，
∴$\frac{QM}{AC}$=$\frac{QD}{AD}$，
∴$\frac{t}{2}$=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}t}{\sqrt{2}}$，
∴t=$\frac{2}{3}$．

（2）当0＜t≤1时，∵PA=PQ，
∴PQ=t，
当1＜t＜2时，△PQC是等腰直角三角形，
∴PC=PQ，
∴PQ=2-t，
综上所述PQ=$\left\{\begin{array}{l}{t}&{（0＜t≤1）}\\{2-t}&{（1＜t＜2）}\end{array}\right.$．

（3）①如图2中，

当0＜t＜$\frac{2}{3}$时，重叠部分就是正方形PQMN，S=t²．
②如图3中，设CD与MN交于点G，MQ交CD于H．

当$\frac{2}{3}$＜t≤1时，重叠部分是五边形QHGNP，
S=S_{正方形PQMN}-S_△MHG=t²-$\frac{1}{2}$（3t-2）²=-$\frac{7}{2}$t²+6t-2．
③如图4中，

当1＜t＜2时，重叠部分是△PCQ，
∴S=S_△PCQ=$\frac{1}{2}$（2-t）²=$\frac{1}{2}$t²-2t+2．
综上所述S=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}}&{（0＜t≤\frac{2}{3}）}\\{-\frac{7}{2}{t}^{2}+6t-2}&{（\frac{2}{3}＜t≤1）}\\{\frac{1}{2}{t}^{2}-2t+2}&{（1＜t＜2）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，需要正确画出图形，考查了学生综合应用知识的能力，属于中考压轴题．