Question

7．有两张相同的矩形纸片ABCD和A′B′C′D′，其中AB=3，BC=8．
（1）若将其中一张矩形纸片ABCD沿着BD折叠，点A落在点E处（如图1），设DE与BC相交于点F，求BF的长；
（2）若将这两张矩形纸片交叉叠放（如图2），试判断四边形MNPQ的形状，并证明．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质可得∠ADB=∠EDB，再根据两直线平行，内错角相等可得∠ADB=∠DBC，然后求出∠FBD=∠FDB，根据等角对等边可得BF=DF，设BF=x，表示出CF，在Rt△CDF中，利用勾股定理列出方程求解即可；
（2）根据MN∥PQ，MQ∥AP，所以四边形MNPQ是平行四边形，过点N分别做NE⊥MQ，NF⊥QP，垂足分别为E、F，可得NF=NE，根据S_{平行四边形MNPQ}=NE•MQ=NF•PQ，所以MQ=PQ，所以四边形MNPQ是菱形．

解答 解：（1）由折叠得，∠ADB=∠EDB，
∵矩形ABCD的对边AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠FBD=∠FDB，
∴BF=DF，
设BF=x，则CF=8-x，
在Rt△CDF中，CD²+CF²=DF²
即3²+（8-x）²=x²，
解得：x=$\frac{73}{16}$，
即BF=$\frac{73}{16}$；
（2）四边形MNPQ的形状是菱形，
证明：∵矩形纸片ABCD和A′B′C′D′，
∴MN∥PQ，MQ∥AP，
∴四边形MNPQ是平行四边形，①
如图2，

过点N分别做NE⊥MQ，NF⊥QP，垂足分别为E、F，
∴NF=NE，
∵S_{平行四边形MNPQ}=NE•MQ=NF•PQ，
∴MQ=PQ，②
由①②知，四边形MNPQ是菱形．

点评 本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，菱形的判定与性质，熟记翻折的性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．