Question

19．如图，半径均为整数的同心圆组成的“圆环带”，若大圆的弦AB与小圆相切于点P，且弦AB的长度为定值$4\sqrt{3}$，则满足条件的不全等的“圆环带”有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 无数个

Answer 1

分析 连结OP、OA，如图，根据切线的性质得OP⊥AB，则利用垂径定理得到AP=BP=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，在Rt△OAP中利用勾股定理得到OA²-OP²=AP²=12，则（OA-OP）（OA+OP）=12，然后利用OA、OP为整数和整数的整除性解得$\left\{\begin{array}{l}{OA=4}\\{OP=2}\end{array}\right.$，于是可判断满足条件的不全等的“圆环带”有1个．

解答 解：连结OP、OA，如图，
∵大圆的弦AB与小圆相切于点P，
∴OP⊥AB，
∴AP=BP=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，
在Rt△OAP中，OA²-OP²=AP²=（2$\sqrt{3}$）²=12，
∴（OA-OP）（OA+OP）=12，
而OA、OP为整数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{OA-OP=1}\\{OA+OP=12}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{OA-OP=2}\\{OA+OP=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{OA-OP=3}\\{OA+OP=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{OA=4}\\{OP=2}\end{array}\right.$，
∴满足条件的不全等的“圆环带”有1个，即大圆半径为4，小圆半径为2．
故选A．

点评 本题考查了切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．