Question

19．某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的产品，并投入资金1500万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为40元，在销售过程中发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量减少1万件．
（1）计算销售单价为160元时的年获利，并说明同样的年获利，销售单价还可以定为多少元？
（2）公司计划在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售；第二年获利不低于1130万元，请说明第一年单价和第二年单价的范围．

Answer 1

分析 （1）由题意易得Z与x之间的函数关系，当x=160时则可推出x²-340x+28800=0，解得x的值．再分别把x的两个值代入y与x的函数关系式即可．
（2）把z与x的关系式化简，得出当x=170时，z取最大值．

解答 解：（1）设销售单价为x元时，年获利y万元，则$y=（30-\frac{x}{10}）（x-40）-500-1500=-\frac{1}{10}{x^2}+34x-3200$，
当$x=160时，z=-\frac{1}{10}×{160^2}+34×160-3200=-320$，
令$-320=-\frac{1}{10}{x^2}+34x-3200$，
整理，得x²-340x+28800=0，
由根与系数的关系得x=180，即同样的年获利，销售单价还可以定为180元，
（2）∵$z=-\frac{1}{10}{x^2}+34x-3200=-\frac{1}{10}{（x-170）^2}-310$
∴当x=170时，z取最大值，最大值为-310
故第一年的销售单价定为170元/件，
∴当z=1130时，即$1130=-\frac{1}{10}{x^2}+34x-1510$，
整理得x²-340x+26400=0，
解得：x₁=120，x₂=220．
函数z=-$\frac{1}{10}$x²+34x-1510的图象大致如图所示：

由图象可以看出：当120≤x≤220时，z≥1130．
故第二年销售量单价应确定在不低于120元且不高于220元的范围．

点评 本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，解题时首先正确理解题意，然后利用已知条件列出方程或二次函数，然后解方程或利用二次函数的性质即可解决问题．