题目内容
【题目】综合与探究
如图，抛物线
与
轴交于
两点，与
轴交于点
．点
是射线
上一点，过点作直线
，与轴右侧的抛物线交于点
．点从点
出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度向右运动，设点运动的时间为t秒．请解答下列问题：
(1)求直线AC的表达式与点
的坐标；
(2)在点运动的过程中，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求运动的时间
；
(3)设点
与点关于直线
对称，
①点的坐标为 (用含的代数式表示，结果需化简)；
②当点落在抛物线的对称轴上且点在线段上时，在平面内是否存在点F，使得以点，，，F为顶点的四边形为菱形?若存在，请求出此时点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
，C (0，2)； (2) 点C的坐标为(0，2) ；(3) ①(
，
)或(
，
)；②(
，
)
【解析】
(1)先求得点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求解；
(2)分类讨论，当Q在
轴上方或下方时，利用
,求得QD的长即可求解；
(3)①分类讨论，当P在点B的左侧或右侧时，利用
,
即可求解；
②先求得点
的坐标，再求得t的值，利用菱形的性质即可求解．
(1)令
，则
，
解得：
，
∴点A、B的坐标分别为(-1，0)、(5，0)，
令
，则
，
∴点C的坐标为(0，2)，
设直线AC的解析式为
，
将点A的坐标(-1，0)代入得
，
解得：
，
∴直线AC的解析式为
；
(2)如图，当Q在轴上方时，作QD⊥AB于D，
∵ACQP为平行四边形，
∴CQ∥AP，
∴CO=QD=2，
∴点Q的纵坐标为2，
∴
，
解得：
，
∴点Q的坐标为
，
∴AP=CQ=4，
∴运动的时间为4秒时，ACQP为平行四边形；
如图，当Q在轴下方时，作QD⊥AB于D，
∵ACPQ为平行四边形，
∴PQ=AC，PQ∥AC，
∴∠CAO=∠QPD，
∴,
∴CO=QD=2，PD=AO=1，
∴点Q的纵坐标为-2，
∴
，
解得：
(不合题意，舍去)，
∴点Q的坐标为
，
∴OD=
，
∴
，
∴运动的时间为
秒时，ACPQ为平行四边形；
综上，当运动的时间为
或秒时，A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形；
(3)①连接PD，过D作DE⊥AB于E，BD交PQ于G，
∵点A、C的坐标分别为(-1，0)、(0，2)，
∴AO=1，CO=2，
∴
，
∵BD关于直线
对称，AP=t，
∴BP=PD=AB-AP=6-t，PQ⊥BD，BG=DG，
∵PQ∥AC，
∴∠CAO=∠BPG，
∴
∴
，即
，
∴
，则
，
∵
∴∠ACO=∠PBG，
∴
∴
，即
，
∴
，
，
∴
，
∴点的坐标为(，)，
当P在点B的右侧时，如图，
同理可得，，
∴
，
此时，点的坐标为(，)，
综上，点的坐标为(，)或(，)；
②存在，理由如下：
由①知PQ⊥BD，BG=DG，
∵四边形BPDF为菱形，
∴DF=BP，DF∥BP，
抛物线
的对称轴为
，
∵点在对称轴上，且点
在线段
上，如图：
∴
，
解得：
，
∴
，
∴点的坐标为(
，)，
，
∴点F的坐标为(
，)，即(，)．
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