Question

【题目】如图，点E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上一点，AC，BD交于点O，且∠EAF=45°，AE，AF分别交对角线BD于点M，N，则有以下结论：①∠AEB=∠AEF=∠ANM；②EF=BE+DF；③△AOM∽△ADF；④S△AEF=2S△AMN，以上结论中，正确的是______ .（请把正确结论的序号都填上）

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，由旋转的性质得，BH＝DF，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，由已知条件得到∠EAH＝∠EAF＝45°，根据全等三角形的性质得到EH＝EF，∴∠AEB＝∠AEF，求得BE＋BH＝BE＋DF＝EF，故②正确；根据三角形的外角的性质得到∠ANM＝∠AEB，于是得到∠AEB＝∠AEF＝∠ANM；故①正确；根据相似三角形的判定定理得到△OAM∽△DAF，故③正确；由△AMN∽△BME，得到，推出△AMB∽△NME，根据相似三角形的性质得到∠AEN＝∠ABD＝45°，推出△AEN是等腰直角三角形，根据勾股定理得到AE＝AN，根据相似三角形的性质得到EF＝MN，于是得到S△AEF＝2S△AMN故④正确．

如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，

由旋转的性质得，BH＝DF，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，

∵∠EAF＝45°，

∴∠EAH＝∠BAH＋∠BAE＝∠DAF＋∠BAE＝90°∠EAF＝45°，

∴∠EAH＝∠EAF＝45°，

在△AEF和△AEH中，

，

∴△AEF≌△AEH（SAS），

∴EH＝EF，

∴∠AEB＝∠AEF，

∴BE＋BH＝BE＋DF＝EF，故②正确；

∵∠ANM＝∠ADB＋∠DAN＝45°＋∠DAN，

∠AEB＝90°∠BAE＝90°（∠HAB∠EAH）＝90°（45°∠EAH）＝45°＋∠EAH，

∴∠ANM＝∠AEB，

∴∠AEB＝∠AEF＝∠ANM；故①正确；

∵AC⊥BD，

∴∠AOM＝∠ADF＝90°，

∵∠MAO＝45°∠NAO，∠DAF＝45°∠NAO，

∴△OAM∽△DAF，故③正确；

连接NE，

∵∠MAN＝∠MBE＝45°，∠AMN＝∠BME，

∴△AMN∽△BME，

∴，

∴，

∵∠AMB＝∠EMN，

∴△AMB∽△NME，

∴∠AEN＝∠ABD＝45°，

∵∠EAN＝45°，

∴∠NAE＝∠NEA＝45°，

∴△AEN是等腰直角三角形，

∴AE＝AN，

∵△AMN∽△BME，△AFE∽△BME，

∴△AMN∽△AFE，

∴=，

∴EF＝MN，

∵AB＝AO，

∴S△AEF＝S△AHE＝HEAB＝EFAB＝MNAO＝2×MNAO＝2S△AMN．故④正确．

故答案为：①②③④．