Question

【题目】在△ABC 中，AB=AC，点 M 在 BA 的延长线上，点 N 在 BC 的延长线上，过点 C 作CD∥AB 交∠CAM 的平分线于点 D．

（1）如图 1，求证：四边形 ABCD 是平行四边形；

（2）如图 2，当∠ABC=60°时，连接 BD，过点 D 作 DE⊥BD，交 BN 于点 E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图 2 中四个三角形（不包含△CDE），使写出的每个三角形的面积与△CDE 的面积相等．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）△ABC、△DBC、△ABD、△ACD．

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得∠CAM=2∠ABC，根据角平分线的定义可得∠CAM=2∠MAD，等量代换得到∠ABC=∠MAD，进而证得AD∥BC即可解决问题；

（2）首先证明平行四边形ABCD是菱形，然后证明△DCE是等边三角形，得到CE=CD=BC=AD，根据等底等高的三角形面积相等可得答案.

解：（1）∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠CAM=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，

∵AD是∠CAM 的平分线，

∴∠CAM=2∠MAD，

∴∠ABC=∠MAD，

∴AD∥BC，

∵CD∥AB，

∴四边形ABCD是平行四边形；

（2）∵∠ABC=60°，AB=AC，四边形ABCD是平行四边形，

∴△ABC是等边三角形，∠DCE=∠ABC=60°，

∴AB=BC，

∴平行四边形ABCD是菱形，

∴∠DBE=30°，

∵DE⊥BD，

∴∠DEB=60°，

∴△DCE是等边三角形，

∴CE=CD=BC=AD，

∵AD∥BC，

∴△ABC、△DBC、△ABD、△ACD的面积都与△CDE的面积相等．