Question

7．如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是$\widehat{AE}$ 的中点，OM交AC于点D，BC=2$\sqrt{3}$，∠BOE=60°，∠C=60°．
（1）求∠A的度数；   
（2）求证：BC是⊙O的切线；   
（3）求MD的长度．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理计算；
（2）根据三角形内角和定理求出∠ABC=90°，根据切线的判定定理证明；
（3）根据垂径定理得到OM⊥AE，求出圆的半径，计算即可．

解答 （1）解：∵∠BOE=60°，
∴∠A=$\frac{1}{2}$∠BOE=30°；
（2）证明：在△ABC中，∵∠C=60°，∠A=30°，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
又∵OB为⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（3）解：∵点M是 AE 的中点，
∴OM⊥AE，
在Rt△ABC中，BC=2$\sqrt{3}$，∠A=30°，
∴AC=4$\sqrt{3}$，
∴AB=6，
∴OA=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴OD=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{3}{2}$，
∴MD=OM-OD=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查的是切线的判定、垂径定理的应用、锐角三角函数的定义，掌握切线的判定定理是解题的关键．