Question

8．如图：四边形ABCD为矩形，E在对角线AC上，F在边BC的延长线上，且$\frac{DE}{EF}$=$\frac{BC}{AB}$，求证：DE⊥EF．

Answer 1

分析 作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，由四边形ABCD是矩形，得到∠B=∠ADC=DCB=90°，AD=BC，由于EM∥AB，EN∥AD，推出△CEM∽△CAB，△CEN∽△CAD，得到$\frac{EM}{AB}=\frac{CE}{CA}$，$\frac{CE}{CA}=\frac{EN}{AD}$，等量代换得到$\frac{EM}{AB}=\frac{EN}{AD}$，根据比例的性质得到$\frac{EM}{EN}=\frac{AB}{AD}$，于是推出$\frac{EM}{EN}=\frac{EF}{DE}$．证得Rt△FEM∽Rt△DEN，得到∠EFM∠EDN，于是得到E，C，F，D四点共圆，即可得到结论．

解答 解：作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠ADC=DCB=90°，AD=BC，
∴EM∥AB，EN∥AD，
∴△CEM∽△CAB，△CEN∽△CAD，
∴$\frac{EM}{AB}=\frac{CE}{CA}$，$\frac{CE}{CA}=\frac{EN}{AD}$，
∴$\frac{EM}{AB}=\frac{EN}{AD}$，
∴$\frac{EM}{EN}=\frac{AB}{AD}$，
∵AD=BC，
∴$\frac{EM}{EN}=\frac{AB}{BC}$，
∴$\frac{EM}{EN}=\frac{EF}{DE}$．
∴Rt△FEM∽Rt△DEN，
∴∠EFM∠EDN，
∴E，C，F，D四点共圆，
∴∠DEF=∠DCF=90°，
∴DE⊥EF．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆，矩形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．