Question

如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在AB上，E在BC上，且AD=BE，BD=AC，连接DE．

（1）求证：△ACD≌△BDE；

（2）求∠BED的度数；

（3）若过E作EF⊥AB于F，BF=1，直接写出CE的长．

Answer 1

【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】（1）根据SAS证明△ACD≌△BDE即可；

（2）根据全等三角形得出AC=BD，进而得出BD=BC，利用角的计算即可解答；

（3）过E作EF⊥AB于F，DH⊥BC于H，根据等腰直角三角形的性质求出EF的长，根据题意求出∠CED=∠DEF，根据角平分线的性质求出EH=EF，根据等腰三角形的性质得到答案．

【解答】证明：（1）在△ACD与△BDE中，

，

∴△ACD≌△BDE（SAS），

（2）∵△ACD≌△BDE，

∴AC=BD，CD=DE，

∵AC=BC，

∴BD=BC，

∴∠BCD=67.5°，

∴∠CED=∠BCD=67.5°，

∴∠BED=112.5°；

（3）过E作EF⊥AB于F，DH⊥BC于H，

∵EF⊥AB，∠B=45°，

∴EF=BF=1，

∵∠FEB=45°，∠CED=67.5°，

∴∠DEF=67.5°，

∴∠CED=∠DEF，又DH⊥BC，EF⊥AB，

∴EH=EF=1，

∵DC=DE，DH⊥BC，

∴CE=2EH=2．

【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质以及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等腰三角形的三线合一是解题的关键．