Question

8．已知关于x的一元二次方程x²-（2m+3）x+m²+2=0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程的一个根为1，则求方程的另一根．

Answer 1

分析 （1）根据根的判别式列出关于m的不等式，求解可得；
（2）设方程的另一个根为x₂，根据韦达定理列出方程组，解方程组即可得．

解答 解：（1）根据题意，[-（2m+3）]2-4（m²+2）＞0，
解得：m＞-$\frac{1}{12}$；

（2）设方程的另一个根为x₂，
则$\left\{\begin{array}{l}{1+{x}_{2}=2m+3}\\{1•{x}_{2}={m}^{2}+2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=0}\\{{x}_{2}=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{{x}_{2}=6}\end{array}\right.$，
即方程的另一个根为2或6．

点评 本题主要考查根的判别式与韦达定理，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．