Question

【题目】 如图，点P在曲线y=（x＜0）上，PA⊥x轴于点A，点B在y轴正半轴上，PA=PB，OA、OB的长是方程t2-8t+12=0的两个实数根，且OA＞OB，点C是线段PB延长线上的一个动点，△ABC的外接圆⊙M与y轴的另一个交点是D．

（1）填空：OA=______；OB=______；k=______．

（2）设点Q是⊙M上一动点，若圆心M在y轴上且点P、Q之间的距离达到最大值，则点Q的坐标是______；

（3）试问：在点C运动的过程中，BD-BC的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请给出合理的解释．

Answer 1

【答案】（1）6，2，-60；（2）（，-3-8）；（3）是，定值为4

【解析】

（1）求出点A、B的坐标为（-6，0）、（0，2），设点P（-6，），由PA=PB，即可求解；

（2）先求出PM解析式，当PQ过圆心M时，点P、Q之间的距离达到最大值，由两点距离公式可求解；

（3）BD-BC=2r-2rcos∠DBC，即可求解．

（1）t2-8t+12=0，

解得：t=2或6，

即OA=6，OB=2，即点A、B的坐标为（-6，0）、（0，2），

设点P（-6，），

由PA=PB得：36+（2+）2=（）2，

解得：k=-60，

故点P（-6，10），

故答案为：6，2，-60；

（2）当PQ过圆心M时，点P、Q之间的距离达到最大值，

∵AM2=AO2+OM2，

∴AM2=36+（AM-2）2，

∴AM=10=BM

∴点M坐标为（0，-8）

设直线PM的解析式为：y=kx-8

∴10=-6k-8

∴k=-3

∴直线PM的解析式为：y=-3x-8

∴设点Q（a，-3a-8）（a＞0）

∵MQ=10=

∴a=

∴点Q坐标为（，-3-8）

故答案为：（，-3-8）

（3）是定值，理由：

连接CD，过点P作PH⊥y轴，

∵tan∠PBH===tan∠DBC，则cos∠DBC=，

∴BD-BC=2r-2rcos∠DBC=2r（1-）=4．