题目内容

如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A、精英家教网C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求抛物线的解析式及直线AC的解析式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．
分析：（1）将A、B的坐标代入抛物线中，易求出抛物线的解析式；将C点横坐标代入抛物线的解析式中，即可求出C点的坐标，再由待定系数法可求出直线AC的解析式．
（2）PE的长实际是直线AC与抛物线的函数值的差，可设P点的横坐标为x，用x分别表示出P、E的纵坐标，即可得到关于PE的长、x的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得PE的最大值．
（3）此题要分两种情况：①以AC为边，②以AC为对角线．确定平行四边形后，可直接利用平行四边形的性质求出F点的坐标．
解答：解：（1）将A（-1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c，
得b=-2，c=-3；
∴y=x2-2x-3．
将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3，
得y=-3，
∴C（2，-3）；
∴直线AC的函数解析式是y=-x-1．

（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2），
则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），E（x，x2-2x-3）；
∵P点在E点的上方，PE=（-x-1）-（x2-2x-3）=-x2+x+2，
∴当x=
1
2
时，PE的最大值=
9
4
．

（3）存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（-3，0），F3（4+
7
，0），F4（4-
7
，0）．
①如图，连接C与抛物线和y轴的交点，
∵C（2，-3），G（0，-3）
∴CG∥X轴，此时AF=CG=2，
∴F点的坐标是（-3，0）；
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②如图，AF=CG=2，A点的坐标为（-1，0），因此F点的坐标为（1，0）；
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③如图，此时C，G两点的纵坐标关于x轴对称，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1±
7
，3），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y=-x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y=-x+4+
7
．因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+
7
，0）；
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④如图，同③可求出F的坐标为（4-
7
，0）；
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综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点．
点评：此题考查了一次函数、二次函数解析式的确定、二次函数的应用、平行四边形的判定和性质等知识，（3）题应将所有的情况都考虑到，不要漏解．
练习册系列答案
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＜
0（填“＞”“=”或“＜”号）．
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