Question

如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．如果一条直线与果圆只有一个交点，则这条直线叫做果圆的切线．已知A、B、C、D四点为果圆与坐标轴的交点，E为半圆的圆心，抛物线的解析式为y=x²﹣2x﹣3，AC为半圆的直径．

（1）分别求出A、B、C、D四点的坐标；

（2）求经过点D的果圆的切线DF的解析式；

（3）若经过点B的果圆的切线与x轴交于点M，求△OBM的面积．

　

Answer 1

 

【考点】圆的综合题．

【分析】（1）连接DE，根据坐标轴上点的坐标特征求出A、B、C的坐标，根据题意求出半圆的直径，根据勾股定理求出OD的长，得到点D的坐标；

（2）根据射影定理求出EF的长，得到点F的坐标，运用待定系数法求出经过点D的果圆的切线DF的解析式；

（3）根据切线的性质得到经过点B的果圆的切线与抛物线只有一个公共点，根据一元二次方程的判别式解答即可求出点M的坐标，根据三角形的面积公式计算即可．

【解答】解：（1）连接DE，

∵y=x²﹣2x﹣3，

∴x=0时，y=﹣3，

y=0时，x₁=﹣1，x₂=3，

∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，﹣3），点C的坐标为（3，0），

∵AC=4，

∴AE=DE=2，

∴OE=1，

∴OD==，

∴D点的坐标为（0，）；

（2）∵DF是果圆的切线，

∴ED⊥DF，又DO⊥EF，

∴DE²=EO•EF，

∴EF=4，则OF=3，

∴点F的坐标为（﹣3，0），

设经过点D的果圆的切线DF的解析式为y=kx+b，

则，

解得．

∴经过点D的果圆的切线DF的解析式为y=x+；

（3）设经过点B的果圆的切线的解析式为：y=ax+c，

∵点B的坐标为（0，﹣3），

∴经过点B的果圆的切线的解析式为：y=ax﹣3，

由题意得，方程组只有一个解，

即一元二次方程x²﹣（a+2）x=0有两个相等的实数根，

△=（a+2）²﹣4×1×0=0，

解得a=﹣2，

∴经过点B的果圆的切线的解析式为：y=﹣2x﹣3，

当y=0时，x=﹣，

∴点M的坐标为（﹣，0），即OM=，

∴△OBM的面积=×OM×OB=．

【点评】本题考查的是圆的切线的性质、待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程根与系数的关系以及坐标与图形的性质，灵活运用相关的定理、数形结合思想以及方程思想是解题的关键．