Question

【题目】如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CD交OE边于点F．

（1）求证：△DOE∽△ABC；

（2）求证：∠ODF=∠BDE；

（3）连接OC．设△DOE的面积为S．sinA=，求四边形BCOD的面积（用含有S的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）S四边形BCOD=．

【解析】

（1）根据圆周角定理和垂直（DE⊥AB）得出∠DEO=∠ACB；根据平行（OD∥BC）得出∠DOE=∠ABC；根据相似三角形的判定即可证明；

（2）根据相似三角形的性质可得∠ODE=∠A，根据圆周角定理可得∠A=∠BDC，进而推出∠ODE=∠BDC，等式两边同时减去∠EDF即可证明∠ODF=∠BDE.

（3）根据相似三角形的性质可得S△ABC=4S△DOE=4S，进而可得S△BOC=2S；由sinA=，∠A=∠ODE及圆的半径相等（OD=OB），可得，将三部分的面积相加，即可解答本题.

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵DE⊥AB，

∴∠DEO=90°，

∴∠DEO=∠ACB，

∵OD∥BC，

∴∠DOE=∠ABC，

∴△DOE∽△ABC；

（2）证明：∵△DOE∽△ABC，

∴∠ODE=∠A，

∵∠A和∠BDC是所对的圆周角，

∴∠A=∠BDC，

∴∠ODE=∠BDC，

∴∠ODF=∠BDE；

（3）解：∵△DOE∽△ABC，

∴，

即S△ABC=4S△DOE=4S，

∵OA=OB，

∴，

即S△BOC=2S，

∵sinA=，sinA=sin∠ODE，

∴，

∴OE=，

∴，

∴，

∴S四边形BCOD=S△BOC+S△DOE+．