Question

7．过⊙O的直径BC的延长线上一点A作圆的切线，D为切点，过B作切线的垂线交圆于点E，F为垂足，AC=DE，求AC和AB的比值．

Answer 1

分析 解：连结OD、CD，如图，利用切线的性质得OD⊥AF，则OD∥BF，所以∠1=∠2，则可证明∠2=∠3得到CD=DE，加上AC=DE，所以AC=CD，接着证明△OCD为等边三角形得到∠6=60°，CD=OC，所以AO=2OD=2CD=2AC，然后计算AC：AB的值．

解答 解：连结OD、CD，如图，
∵AF为切线，
∴OD⊥AF，
∵BF⊥AF，
∴OD∥BF，
∴∠1=∠2，
∵OB=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{DE}$，
∴CD=DE，
而AC=DE，
∴AC=CD，
∴∠A=∠4，
∵∠A+∠6=90°，∠4+∠5=90°，
∴∠5=∠6，
∴CO=CD，
而OC=OD，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠6=60°，CD=OC，
∴AO=2OD=2CD=2AC，
∴AC：AB=AC：3AC=1：3．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．解决本题的判断△OCD为等边三角形．