Question

13．已知：△ABC内接于⊙O，D是$\widehat{BC}$上一点，OD⊥BC，垂足为H．
（1）如图1，当圆心O在AB边上时，求证：AC=2OH；
（2）如图2，当圆心O在△ABC外部时，连接AD、CD，AD与BC交于点P，求证：∠ACD=∠APB；
（3）在（2）的条件下，如图3，连接BD，E为⊙O上一点，连接DE交BC于点Q、交AB于点N，连接OE，BF为⊙O的弦，BF⊥OE于点R交DE于点G，若∠ACD-∠ABD=2∠BDN，AC=5$\sqrt{5}$，BN=3$\sqrt{5}$，tan∠ABC=$\frac{1}{2}$，求BF的长．

Answer 1

分析 （1）OD⊥BC可知点H是BC的中点，又中位线的性质可得AC=2OH；
（2）由垂径定理可知：$\widehat{BD}=\widehat{CD}$，所以∠BAD=∠CAD，由因为∠ABC=∠ADC，所以∠ACD=∠APB；
（3）由∠ACD-∠ABD=2∠BDN可知∠AND=90°，由tan∠ABC=$\frac{1}{2}$可知NQ和BQ的长度，再由BF⊥OE和OD⊥BC可知∠GBN=∠ABC，所以BG=BQ，连接AO并延长交⊙O于点I，连接IC后利用圆周角定理可求得IC和AI的长度，设QH=x，利用勾股定理可求出QH和HD的长度，利用垂径定理可求得ED的长度，最后利用tan∠OED=$\frac{1}{2}$即可求得RG的长度，最后由垂径定理可求得BF的长度．

解答 解：（1）∵OD⊥BC，
∴由垂径定理可知：点H是BC的中点，
∵点O是AB的中点，
∴OH是△ABC的中位线，
∴AC=2OH；

（2）∵OD⊥BC，
∴由垂径定理可知：$\widehat{BD}=\widehat{CD}$，
∴∠BAD=∠CAD，
∵$\widehat{AC}=\widehat{AC}$，
∴∠ABC=∠ADC，
∴180°-∠BAD-∠ABC=180°-∠CAD-∠ADC，
∴∠ACD=∠APB，

（3）连接AO延长交于⊙O于点I，连接IC，AB与OD相交于点M，
∵∠ACD-∠ABD=2∠BDN，
∴∠ACD-∠BDN=∠ABD+∠BDN，
∵∠ABD+∠BDN=∠AND，
∴∠ACD-∠BDN=∠AND，
∵∠ACD+∠ABD=180°，
∴∠ABD+∠BDN=180°-∠AND，
∴∠AND=180°-∠AND，
∴∠AND=90°，
∵tan∠ABC=$\frac{1}{2}$，BN=3$\sqrt{5}$，
∴NQ=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴由勾股定理可求得：BQ=$\frac{15}{2}$，
∵∠BNQ=∠QHD=90°，
∴∠ABC=∠QDH，
∵OE=OD，
∴∠OED=∠QDH，
∵∠ERG=90°，
∴∠OED=∠GBN，
∴∠GBN=∠ABC，
∵AB⊥ED，
∴BG=BQ=$\frac{15}{2}$，GN=NQ=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∵AI是⊙O直径，
∴∠ACI=90°，
∵tan∠AIC=tan∠ABC=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AC}{IC}$=$\frac{1}{2}$，
∴IC=10$\sqrt{5}$，
∴由勾股定理可求得：AI=25，
连接OB，
设QH=x，
∵tan∠ABC=tan∠ODE=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{QH}{HD}=\frac{1}{2}$，
∴HD=2x，
∴OH=OD-HD=$\frac{25}{2}$-2x，
BH=BQ+QH=$\frac{15}{2}$+x，
由勾股定理可得：OB²=BH²+OH²，
∴（$\frac{25}{2}$）²=（$\frac{15}{2}$+x）²+（$\frac{25}{2}$-2x）²，
解得：x=$\frac{9}{2}$或x=$\frac{5}{2}$，
当QH=$\frac{9}{2}$时，
∴QD=$\sqrt{5}$QH=$\frac{9\sqrt{5}}{2}$，
∴ND=QD+NQ=6$\sqrt{5}$，
∴MN=3$\sqrt{5}$，MD=15
∵MD＞$\frac{25}{2}$，
∴QH=$\frac{9}{2}$不符合题意，舍去，
当QH=$\frac{5}{2}$时，
∴QD=$\sqrt{5}$QH=$\frac{5}{2}$$\sqrt{5}$
∴ND=NQ+QD=4$\sqrt{5}$，
由垂径定理可求得：ED=10$\sqrt{5}$，
∴GD=GN+ND=$\frac{11}{2}\sqrt{5}$
∴EG=ED-GD=$\frac{9}{2}$$\sqrt{5}$，
∵tan∠OED=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{RG}{ER}=\frac{1}{2}$，
∴EG=$\sqrt{5}$RG，
∴RG=$\frac{9}{2}$，
∴BR=RG+BG=12
∴由垂径定理可知：BF=2BR=24．

点评 本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，中位线的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．