Question

【题目】如图，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，其对称轴1为．

（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；

（2）若动点在第二象限内的抛物线上，动点在对称轴1上．

①当，且时，求此时点的坐标；

②当四边形的面积最大时，求四边形面积的最大值及此时点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3，顶点为（﹣1，4）；（2）①；②，．

【解析】

（1）把点A、B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解；

（2）①由PA⊥NA，且PA=NA，可证△PAD≌△ANQ（AAS），则PD=AQ，PD=AQ=AO-QO=3-1=2，即：即y=-x2-2x+3=2，即可求解；

②利用S四边形PABC=S△OBC+S△CPO+S△POA，求解即可．

解：（1）把点A、B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得，

故：抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，

∴顶点坐标为（﹣1，4）；

（2）∵A（﹣3，0），B（1，0），

OA＝3，OB＝1，

如解图，作PD⊥x轴于点D，设对称轴l与x轴交于点Q，连接AC，OP，

①∵点P在y＝﹣x2﹣2x+3上，

∴设点P（x，﹣x2﹣2x+3），

∵PA⊥NA，且PA＝NA，

∴∠PAD+∠APD＝∠PAD+∠NAQ＝90°，

∴∠APD＝∠NAQ，

又∵∠PDA＝∠AQN＝90°，

∴△PAD≌△ANQ（AAS），

∴PD＝AQ，

∴PD＝AQ＝AO﹣QO＝3﹣1＝2

即：y＝﹣x2﹣2x+3＝2

解得：（舍去）或

∴点P坐标为；

②连接OP，设P（x，﹣x2﹣2x+3），且﹣3＜x＜0

S四边形PABC＝S△OBC+S△CPO+S△POA

∵，

又﹣3＜x＜0，所以，

∴S四边形PABC＝S△OBC+S△CPO+S△POA

，

∴当时，S四边形PABC最大为，

此时．